О РЕКУРРЕНТНЫХ И ОБОБЩЕННО-РЕКУРРЕНТНЫХ РЕШЕНИЯХ НЕАВТОНОМНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ON RECURRENT AND GENERALIZED-RECURRENT SOLUTIONS OF NON-AUTONOMOUS DIFFERENTIAL EQUATIONS

Скачать статью

Авторы

С.М. ДЗЮБА, И.И. ЕМЕЛЬЯНОВА

Аннотация

В статье приведено определение рекуррентного решения дифференциального уравнения с периодической по t правой частью X ⃗(x,t), заданной на прямом произведении V×R дифференцируемого (класса C^2) компактного многообразия V, расположенного в аффинном пространстве E над полем действительных чисел R, и множества R. Указана теорема существования таких решений. Данная теорема имеет ряд довольно важных применений. Именно для непериодических функций t→X ⃗(x,t) введено определение обобщенно-рекуррентного решения и на основании теоремы существования рекуррентных решений установлено существование обобщенно-рекуррентных решений. Отмечено, что теорема существования обобщенно-рекуррентных решений является прямым и естественным развитием известных теорем о существовании асимптотических почти периодических и других устойчивых по Пуассону решений дифференциальных уравнений с соответствующей правой частью X ⃗(x,t).

Ключевые слова

гладкое компактное многообразие, дифференциальные уравнения, рекуррентные и обобщенно-рекуррентные решения.

Abstract

The article presents a definition of a recurrent solution to a differential equation with a periodic t right-hand side X ⃗(x,t), defined on the direct product of V×R a differentiable (of class C^2) compact manifold V located in an affine space E over the field of real numbers R, and a set R. A theorem on the existence of such solutions is also presented. As it turns out, this theorem has a number of rather important applications. Namely, for non-periodic functions t→X ⃗(x,t), a definition of a generalized recurrent solution is introduced and, based on the theorem on the existence of recurrent solutions, the existence of generalized recurrent solutions is established. It is noted that the existence theorem of generalized recurrence solutions is a direct and natural development of the well-known theorems on the existence of asymptotic almost periodic and other Poisson stable solutions of differential equations with the corresponding right-hand side X ⃗(x,t).

Keywords

smooth compact manifold, differential equations, recurrent and generalized recurrent solutions.